NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 10 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions.

Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी

प्रश्नावली 5.1

Q1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?

(1) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15  रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |

Solution:

प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |

अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये

श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 …………………………..

जाँच:

a = 15

d1 = a2 – a1

= 23 – 15 = 8

d2 = a– a2

= 31 – 23 = 8

d3 = a– a3

= 39 – 31 = 8

चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है |

इसलिए दिया गया सूची A. P है |

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |

Solution:

माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 1

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |

Solution:

प्रथम मीटर का लागत = 150,

दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200

तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250

श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 ………………………

जाँच:

a = 150

d1 = a2 – a1

= 200 – 150 = 50

d2 = a– a2

= 250 – 200 = 50

d3 = a– a3

= 300 – 250 = 50

सार्व अंतर = 50

यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है |

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |

Solution:

पहले वर्ष की राशि = 10000

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 2

तीसरे वर्ष की राशि = 11664

श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 …………………

स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |

Q2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i)  = 10, = 10

Solution:

a = 10

a2 = a + d ⇒ 10 + 10 = 20

a3 = a + 2d ⇒ 10 + 2 × 10 = 30

a4 = a + 3d ⇒ 10 + 3 × 10 = 40

श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ………………….

प्रथम चार पद : 10, 20, 30 और 40

(ii) = –2, = 0

Solution:

a = –2

a2 = a + d ⇒ –2 + 0 = –2

a3 = a + 2d ⇒ –2 + 2 × 0 = –2

a4 = a + 3d ⇒ –2 + 3 × 0 = –2

श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ………………….

प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2

(iii) = 4, = – 3

Solution:

a = 4

a2 = a + d ⇒ 4 + – 3 = 1

a3 = a + 2d ⇒ 4 + 2 × – 3 = –2

a4 = a + 3d ⇒ 4 + 3 × – 3 = –5

श्रृंखला: 4, 1, – 3, –5 ………………….

प्रथम चार पद : 4, 1, – 3 और –5

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 3

(v) = – 1.25, = – 0.25

Solution:

a = – 1.25

a2 = a + d ⇒ – 1.25 + – 0.25 = – 1.5

a3 = a + 2d ⇒ – 1.25 + 2 × – 0.25 = –1.75

a4 = a + 3d ⇒ – 1.25 + 3 × – 0.25 = –2

श्रृंखला: – 1.25, – 1.5, –1.75, –2 ………………….

प्रथम चार पद : – 1.25, – 1.5, –1.75 और –2

Q4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

(i) 3, 1, – 1, – 3, . . .

Solution:

d1 = a2 – a1

= 1 – 3 = – 2

d2 = a– a2

= -1 – (1) = – 2

d3 = a– a3

= -3 – (-1) = -3 + 1 = – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = 3 + 4×(- 2) = 3 – 8 = – 5

a6 = a + 4d = 3 + 5×(- 2) = 3 – 10 = – 7

a7 = a + 4d = 3 + 6×(- 2) = 3 – 12 = – 9

– 5, – 7, – 9

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 4

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .

Solution:

a = – 1.2

d1 = a2 – a1

= –3.2 – (–1.2 )

= – 3.2 + 1.2 =  – 2

d2 = a– a2

= –5.2 – (–3.2 )

= – 5.2 + 3.2 =  – 2

d3 = a– a3

= –7.2 – (–5.2 )

= – 7.2 + 5.2 =  – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 1.2  + 4×(- 2) = – 1.2 – 8 = – 9.2

a6 = a + 4d = – 1.2  + 5×(- 2) = – 1.2  – 10 =  – 11.2

a7 = a + 4d = – 1.2  + 6×(- 2) = – 1.2  – 12 = – 13.2

⇒ – 9.2, – 11.2, – 13.2

(iv) – 10, – 6, – 2,  2, . . .

Solution:

a = – 10

d1 = a2 – a1

= –6 – (–10 )

= – 6 + 10 =  4

d2 = a– a2

= –2 – (–6 )

= – 2 + 6 =  4

d3 = a– a3

= 2 – (–2 )

= 2 + 2 =  4

सार्व अंतर = 4

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 10 + 4×(4) = – 10 + 16 = 6

a6 = a + 4d = – 10 + 5×(4) = – 10 + 20 =  10

a7 = a + 4d = – 10 + 6×(4) = – 10 + 24 = 14

⇒ 6, 10, 14

प्रश्नावली 5.2

कक्षा – 10 (NCERT Solution)

Q1.  निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है: 

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 5

Solution:

(i) a = 7, d = 3, n = 8 an = ?

an = a + (n – 1)d

a8 = 7 + (8 – 1)3

= 7 + 7 ×3 = 7 + 21

= 28

(ii) a = – 18, n = 10, an = 0, d = ?,

an = a + (n – 1)d

a10 = – 18 + (10 – 1)d

0    = -18 + 9d

9d = 18

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 6

(iii)  d = -3, n = 18, an = -5, a = ?

an = a + (n – 1)d

a18 = a + (18 – 1)d

-5   = a + 17(- 3)

-5 + 51 = a

a = 46

(iv) a = – 18.9,  d = 2.5,  an = 3.6  n = ?

an = a + (n – 1)d

3.6 = – 18.9 + (n – 1)2.5

3.6 + 18.9   = (n – 1)2.5

(n – 1)2.5  = 22.5

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 7

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, a= ?

an = a + (n – 1)d

= 3.5 + (105 – 1)0

= 3.5 + 0

= 3.5

Q2.  निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P: 10, 7, 4, …………………. का 30 वाँ पद है:

(A) 97         (B)  77      (C) –77     (D)  – 87

Solution:

a = 10, d = 7 – 10 = -3

30 वाँ पद = ?

a30 = a + 29d

= 10 + 29(-3)

= 10 – 87

= – 77

Correct Answer: (C) – 77

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 8
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 9
Correct Answer: (B) 22

Q3.  निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए | 

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 10

(i) a = 2, b = ?, c = 26 

Solution: 

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 11

Solution: (ii)  a2 = 13,

∴   a + d = 13  ……………. (1)

a4 = 3

∴   a + 3d = 3  ……………..(2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 3d – (a + d) = 3 – 13

a + 3d – a – d = -10

2d = – 10

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 12

d = -5

d  का मान समीo (1) में रखने पर

a + d = 13

a + (- 5) = 13

a = 13 + 5

a = 18

a3 = a + 2d = 18 + 2 (-5)

= 18 – 10 = 8

अत: 18, 13, 8, 3

Q4.  A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

Solution:

a = 3, d = 8 – 3 = 5, a= 78

a = a + (n – 1) d

78 = 3 + (n – 1) 5

78 – 3 = (n – 1) 5

75 = (n – 1) 5

n – 1 = 75/5

n – 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

अत: 16 वाँ पद 78 है |

Q5.  निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

(i) 7, 13, 19, …………….. , 205

Solution:

a = 7, d = 13 – 7 = 6, a= 205

a = a + (n – 1) d

205 = 7 + (n – 1) 6

205 – 7 = (n – 1) 6

198 = (n – 1) 6

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 13

n – 1 = 33

n = 33 + 1

n = 34

इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 14

इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |

Q6.  क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद – 150 है ? क्यों ?

Solution:

a = 11, d = 8 – 11 = – 3 और a= – 150

a = a + (n – 1) d

– 150 = 11 + (n – 1) – 3

– 150 – 11 = (n – 1) -3

– 161 = (n – 1) – 3

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 15

n – 1 = 53. 66

n = 53.66 + 1

n = 54.66

यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है

इसलिए – 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |

Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिएजिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Solution:

31वाँ पद = ?

a11 = 38

⇒a + 10d = 38 ………………… (1)

a16 = 73

⇒ a + 15d = 73 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 15d – (a + 10d ) = 73 – 38

a + 15d – a – 10d = 35

5d = 35

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 16

d = 7

समीo (1) में d का मान 7 रखने पर

a + 10d = 38

a = 10 (7) = 38

a = 38 – 70

a = – 32

अब, a31 = a + 30d

⇒ a31 = – 32 + 30(7)

⇒ a31 = – 32 + 210

⇒ a31 = 178

अत: 31 वाँ पद 178 है |

Q8. एक A.P में 50 पद हैंजिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

A.P में 50 पद हैं |

अत: n = 50

a3 = 12

⇒ a + 2d = 12 ………………… (1)

और अंतिम पद 106 है।

a= 106

या a50 = 106

⇒ a + 49d = 106 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 49d – (a + 2d ) = 106 – 12

a + 49d – a – 2d = 94

47d = 94

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 17

d = 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 12

a = 2(2) = 12

a = 12 – 4

a = 8

अब, a29 = a + 28d

⇒ a29 = 8 + 28(2)

⇒ a29 = 8 + 56

⇒ a29 = 64

अत: 29 वाँ पद 64 है |

Q9.  यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और –8 हैंतो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

Solution:

a3 = 4

⇒ a + 2d = 4 ………………… (1)

और नौवा पद – 8 है।

a= – 8

⇒ a + 8d = – 8 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 8d – (a + 2d ) = – 8 – 4

a + 8d – a – 2d = – 12

6d = – 12

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 18

d = – 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 4

a = 2(-2) = 4

a = 4 + 4

a = 8

अत: a = 8, और d = – 2

माना n वाँ पद शून्य है |

an = 0

a = a + (n – 1) d

⇒ 0 =  8  + (n – 1) -2

⇒ – 8 = (n – 1) -2

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 19

⇒ n – 1 = 4

⇒ n = 4 + 1 = 5

अत: 5 वाँ पद शून्य है |

Q10.  किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Solution:

चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।

∴ a17  – a10 = 7

⇒ a + 16d – (a + 9d) = 7

⇒a + 16d – a – 9d = 7

⇒ 7d = 7

⇒ d = 1

सार्व अंतर = 1

Q11.  A.P. : 3, 15, 27,  39, ……… का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

Solution:

a = 3, d = 15 – 3 = 12

a54 = a + 53d

= 3 + 53(12)

= 3 + 636

= 639

वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा

an = a54 + 132

= 639 + 132

= 771

a = a + (n – 1) d

⇒ 771 =  3  + (n – 1) 12

⇒ 771 – 3 = (n – 1) 12

⇒ 768 = (n – 1) 12

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 20
⇒ n – 1 = 64

⇒n = 64 + 1 = 65

अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |

Q12.  दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 हैतो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

Solution:

माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a

और दुसरे A.P का प्रथम पद = a’ है |

और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है

प्रश्नानुसार,

a100 – a’100 = 100

a + 99d – (a’ + 99d) = 100

a + 99d – a’ – 99d = 100

a – a’ = 100 ……………. (1)

a1000 – a’1000 = a + 999d – (a’ + 999d)

= a + 999d – a’ – 999d

= a + a’

चूँकि a + a’ = 100 है समीo (1) से

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

Q13.  तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Solution:

तीन अंको की संख्या 100 ……………… 999 के बीच होती है |

अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:

105, 112, 119, …………………… 994

इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |

∴ a = 105, d = 7 और an = 994

a = a + (n – 1) d

⇒ 994 =  105  + (n – 1) 7

⇒ 994 – 105 = (n – 1) 7

⇒ 889 = (n – 1) 7

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 21

⇒ n – 1 = 127

⇒ n = 127 + 1 = 128

अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |

Q14.  10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

Solution:

10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |

12, 16, 20, …………………… 248

∴ a = 12, d = 4 और an = 248

a = a + (n – 1) d

⇒ 248 =  12  + (n – 1) 4

⇒ 248 – 12 = (n – 1) 4

⇒ 236 = (n – 1) 4

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 22

⇒ n – 1 = 59

⇒ n = 59 + 1 = 60

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |

Q15.  n के किस मान के लिएदोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, ………. और 3, 10, 17, ……………… के n वें पद बराबर होंगे?

Solution:

प्रथम A.P:  63, 65, 67, ……….

जिसमें, a = 63, d = 65 – 63 = 2

a = a + (n – 1) d

= 63 + (n – 1) 2

= 63 + 2n – 2

= 61 + 2n ……………….. (1)

द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ………………

जिसमें , a = 3, d = 10 – 3 = 7

a = a + (n – 1) d

= 3 + (n – 1) 7

= 3 + 7n – 7

= – 4 + 7n ……………….. (1)

चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से

61 + 2n = – 4 + 7n

61 + 4 = 7n – 2n

5n = 65

n = 65/5

n = 13

अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |

Q16.  वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

Solution:

माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,

a3 = 16

a + 2d = 16 ………………… (1)

a7 – a= 12

⇒ a + 6d – (a + 4d) = 12

⇒ a + 6d – a – 4d = 12

⇒ 2d = 12

⇒ d = 6

अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर ‘

a + 2d = 16

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 16 – 12

a = 4

a, a + d, a + 2d, a + 3d ………………

⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ……………

अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 …………………………

Q17. A.P. : 3, 8, 13, …, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

दिया गया A.P. : 3, 8, 13, …, 253 है |

प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 – 3 = 5

परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,

और सार्व अंतर d = – 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]

a20 = a + 19d

= 253 + 19(-5)

= 253 – 95

= 158

अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |

Q18. किसी A.P.  के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.  के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

a4 + a8 = 24

या    a + 3d + a + 7d = 24

या    2a + 10d = 24

या    2(a + 5d) = 24

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 23

या    a + 5d = 12  ……………………. (1)

इसीप्रकार,

A6 + a10 = 44

या    a + 5d + a + 9d = 44

या    2a + 14d = 44

या    2(a + 7d) = 44

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 24

या    a + 7d = 22  ……………………. (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

(a + 7d) – (a + 5d)  = 22  – 12

या    a + 7d – a – 5d  = 10

या    2d = 10

या    d = 5

समीकरण (1) में d = 5 रखने पर

a + 5(5) = 12

या    a + 25 = 12

या    a = 12 – 25

या    a = – 13

अत: A.P के प्रथम 3 पद है :

-13, -13 + 5, -13 + 2(5)

-13, – 8, – 3

Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?

Solution:

दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :

A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000

a = 5000, d = 200, an = 7000

an = a + (n – 1)d

7000 = 5000 + (n – 1)200

7000 – 5000 = (n – 1)200

2000 = (n – 1)200

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 25

n – 1 = 20

n = 20 + 1

n = 21 वर्ष

अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |

1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |

Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

Solution:

इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :

A.P: 5, 6.75, 8.50, ………………………, 20.75

A = 5, d = 1.75, an = 20.75

an = a + (n – 1)d

20.75 = 5 + (n – 1)1.75

20.75 – 5 = (n – 1)1.75

15.75 = (n – 1)1.75

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 26

n – 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10

प्रश्नावली 5.3

Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

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Solution:

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12

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Solution:

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,

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Q2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:

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(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution: 

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 33
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(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

Solution:

a = 34, d = 32 – 34 = -2, an = 10

a= a + (n -1)d

10 = 34 + (n – 1)-2

10 – 34 = (n – 1)-2

-24 = (n – 1)-2

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 35

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution:

a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, an =  –230

a= a + (n -1)d

–230 = –5 + (n – 1)–3

–230 + 5 = (n – 1) –3

–225= (n – 1)–3

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 36

Q3. एक A.P. में,

(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है  n और Sn ज्ञात कीजिए 

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 37

(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और S13 ज्ञात कीजिए ।

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 38

(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और S12 ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 39

अत: a = 4 और S12 = 246 है |

(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और a10 ज्ञात कीजिए ।

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 40

प्रतिस्थापन विधि से समीकरण (i) और (ii) का हल करने पर

समीकरण (i) से

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 41

(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।

हल : d = 5 और S9 = 75 दिया है

S9 = 75

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 42
NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 43

(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और an ज्ञात कीजिए ।

हल : a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है ।

Sn = 90

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 44

(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और d ज्ञात कीजिए ।

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 45

अत: अंतिम पद = 62 और सार्वअंतर = 54/5

(viii) an = 4, d = 2 और S= –14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 46

=> n = 7 और  n = – 2 (Not Applicable क्योंकि n हमेशा धनात्मक होता है)

अत: n = 7

n = 7 का मान (i) में रखने पर

a = 6 – 2n   …………… (i)

a = 6 – 2(7)

a = 6 – 14

a = – 8

अत: n = 7 और a = – 8 है |

(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 47

(x) = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 48

Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25 ……….. के कितने पद लेने चाहिए ?

हल : दिया है : A.P. : 9, 17, 25 ………..

a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636 और n = ?

अब, Sn = 636

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 49

Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल : दिया है : a = 5, an = 45 और Sn = 400

अब, an = 45

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Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

हल : a1 = 17, an = 350 और d = 9

अब, an = 350

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Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

हल : दिया है : a22 = 149 d = 7 और n = 22

a22 = a + 21 d

149 = a + 21×7

149 = a + 147

a = 149 – 147

a = 2

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Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

हल : दिया है :

a2 = 14

=> a + d = 14  ………… (i)

a3  = 18

d = a3 – a2

= 18 – 14

= 4

d का मान समीकरण (i) में रखने पर

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Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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Q10. दर्शाइए कि a1, a2, . . ., an, . . . से एक A.P. बनती हैयदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:

(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n

साथ हीप्रत्येक स्थिति मेंप्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 हैतो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1 ) क्या है?  प्रथम दो पदों का योग क्या है?  दूसरा पद क्या है?  इसी प्रकार,  तीसरे10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है

Sn = 4n – n2 ………… (i)

n की जगह n  1 रखने पर

Sn-1 = 4(n 1) – (n  1)2

= 4n  4 – (n2  2n + 1)

= 4n  4 – n2 + 2n  1

= – n2 + 6n  5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = Sn  Sn-1

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है

Sn = 4n – n2 ………… (i)

n की जगह n  1 रखने पर

Sn-1 = 4(n 1) – (n  1)2

= 4n  4 – (n2  2n + 1)

= 4n  4 – n2 + 2n  1

= – n2 + 6n  5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = 4n – n2  (– n2 + 6n  5)

=> (an) = 4n – n2 + n2  6n + 5

=> (an) =  2n + 5

अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 – 4 = 4

(an) =  2n + 5

दूसरा पद (a2) =  2(2) + 5  =  4 + 5 = 1

तीसरा पद (a3) =  2(3) + 5  =  6 + 5 = 1

10 वाँ पद (a10) =  2(10) + 5  =  20 + 5 = 15

(an) = 4n – n2  (– n2 + 6n  5)

=> (an) = 4n – n2 + n2  6n + 5

=> (an) =  2n + 5

अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 – 4 = 4

(an) =  2n + 5

दूसरा पद (a2) =  2(2) + 5  =  4 + 5 = 1

तीसरा पद (a3) =  2(3) + 5  =  6 + 5 = 1

10 वाँ पद (a10) =  2(10) + 5  =  20 + 5 = 15

Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 58

Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 59

Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 60

Q15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके मेंएक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिएजुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रुदूसरे दिन के लिए 250 रुतीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादिअर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगीयदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 61

Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम हैतो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

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Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा  यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा  उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा  प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं  इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?

हल :

कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक अनुभाग इस प्रकार पेड़ लगाता है ।

अत: 1, 2, 3, 4, …………………. 12

चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है ।

अत: अब प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ हो जायेंगे ।

इसलिए, 3(1), 3(2), 3(3), 3(4) ……………………. 3(12)

या      3, 6, 9, 12, ………………….. 36

a = 3, d = 3 और n = 12

कुल पेड़ों की संख्या = S12

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 63

Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm …. वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 64

हल : दिया है अर्धवृतों की लम्बाईयाँ l1, l2, l3, l4 क्रमश:  इत्यादि अर्धवृत्त हैं ।

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NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 66

Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे,  उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे,  इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

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यहाँ  4 संभव नहीं है अत: अंतिम अर्थात सबसे उपरी पंक्ति में लठ्ठों की संख्या 5 है और पंक्तियों की संख्या 16 है |

Q20. एक आलू दौड़ (potato race) मेंप्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई हैजो पहले आलू से 5m की दूरी पर हैतथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती हैनिकटतम आलू को उठाती हैउसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती हैदूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती हैउसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती हैजब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 69

प्रश्नावली 5.4

Q1. A.P : 121,117,113,…., का कौन -सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?

[संकेत : an<0 के लिए n ज्ञात कीजिए | ]

Q2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है | इस A.P.             के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए |

Q3.  एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं| (देखिए आकृति 5.7) |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 70

डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है         और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दुरी           2,1/2 m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ?

[संकेत : डंडों की संख्या = 250/ 25 हैं |]

Q4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है |                  दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का          योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है | x का मान ज्ञात कीजिए |

[ संकेत : Sx – 1 = S49  – S है | ]

Q5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं | इन                      सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट ( concrete) की बनी है प्रत्येक              सीढ़ी में 1/4 m की चौड़ाई है और 1/2 m का फैलाव  (चौड़ाई) है | (देखिए आकृति 5.8 )| इस

चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए |

[ संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = 1/4 x 1/2 x 50m3 है |]

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